ST16: Normal Paylanmada Ehtimalların Hesablanması - INNAB

ST16: Normal Paylanmada Ehtimalların Hesablanması

Normal paylanmada ehtimallar əyrinin (curve) altında qalan sahəyə görə hesablanır. Qeyd edək ki, hər hansı tək verilənin ehtimalı sıfıra bərabərdir. Əyri (curve) altında qalan bütün sahənin ehtimalı 1-ə bərabərdir. Əyri (curve) simmetrik olduğuna görə, verilənlərin yarısı (0.5) ortalamadan aşağıda (sol), digər yarısı (0.5) isə ortalamadan yuxarıda (sağ) yerləşir.

1

Z cədvəli: bu cədvəldə Z dəyərlərinə uyğun ehtimallar hesablanmışdır. Yəni, ehtimalların əllə hesablanmasına ehtiyac duyulmur. Bu cədvəlin köməyi ilə biz hesabladığımız Z dəyərindən aşağıda qalan sahənin ehtimalını rahatlıqla görə bilirik.

Normal paylanmada ehtimalların hesablanması ardıcıllığı:

  1. X dəyişəninə görə normal paylanmanı çəkmək
  2. X dəyişənini Z dəyəri ilə əvəz etmək
  3. Z cədvəldən istifadə etməklə ehtimalı tapmaq

Gəlin bu dediklərimizə misal üzrərindən baxaq:

Misal: Fərz edək ki, X təsadüfi dəyişəni növbədə gözlədiyimiz vaxtı göstərir. Deyək ki, X dəyişəni normal paylanmaya sahibdir. Ortalaması 18-ə, standart kənarlaşması isə 5-ə bərabərdir. 18.6-dan aşağıda qalan verilənlərin ehtimalı nədir?  Yəni, P(X < 18.6)?

  • Yuxarı da dediyimiz kimi, birinci paylanmanı çəkək və tapmaq istədiyimiz sahəni müəyyən edək.

2

  • Növbəti mərhələdə, X dəyişəninə uyğun Z dəyərini hesablayaq və X-ı Z ilə əvəz edək.

3

  • Z cədvəlindən istifadə edərək P(X < 18.6) hesablayaq.

4

Yuxarıdakı şəkildə Z cədvəlindən necə istifadə elədiyimiz göstərilmişdir. Şaquli sütundakı rəqəmlər Z dəyərinin tam və onluq hissəsini göstərir (onluq hissə kəsr ədəddə vergüldən sonrakı 1 rəqəmi əhatə edir (bizim misalda Z=0.12, burada Z-in tam və onluq hissəsi 0.1-dir). Üfuqi sütundakı rəqəmlər isə Z dəyərinin kəsr hissəsindəki onluqlardan başqa (yüzlük və b.) rəqəmləri göstərir (bizim misalda Z=0.12, burada kəsrin yüzlük hissəsi  0.02-dir). Bunların kəsişməsində Z dəyərindən aşağıda yerləşən sahənin ehtimalı göstərilmişdir. Bu misala görə verilənlərin 54.78%-i Z dəyərindən aşağıda yerləşir.

 Sağ quyruqdakı ehtimalın hesablanması: bayaq ki misal üzrəndən baxaq. P(X > 18.6)?

5

Bildiyimiz kimi, əyri altında qalan bütün sahə 1-ə bərabərdir. P(X > 18.6) tapmaq üçün 1-dən P(X < 18.6) çıxmaq kifayət edir. Yəni, şəkildəki qırmızı sahəni tapmaq üçün 1-dən ağ sahəni çıxmaq lazımdır. P(X < 18.6) = 0.5478 olduğunu yuxarıda hesablamışdıq.

6

İki dəyişən arasındakı ehtimalın tapılması: normal paylanmış X dəyişəninin ortalaması 18, standart kənarlaşması 5-ə bərabər olarsa, P(18 < X < 18.6)?

Tapmaq istədiyimiz sahəni çəkək:

a

Z dəyərlərimizi hesablayaq:

b

 

Z cədvəlindən P(0 < Z < 0.12) tapaq:

9

Yəni, 0.12-dən aşağıda verilənlərin 54.78%-i, 0.00 –dan aşağıda isə verilənlərin 50%-i yerləşir. Bizə isə, bu sahələrin kəşisən hissəsi lazımdır, yəni 0.00 və 0.12 arasında qalan sahə. Bunu, böyük sahədən kiçik sahəni çıxmaqla tapmaq mümkündür.

          P(18 < X < 18.6) = P(0 < Z < 0.12) = P(Z < 0.12) – P(Z ≤ 0) = 0.5478 – 0.5000 = 0.0478

Sol quyruqdakı ehtimalın tapılması: normal paylanmış X dəyişəninin ortalaması 18, standart kənarlaşması 5-ə bərabər olarsa, P(17.4 < X < 18)?

10

          P(17.4 < X < 18) = P(-0.12 < Z < 0)= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.12) = 0.5000 – 0.4522 =  0.0478

11

Normal paylanma simmetrik olduğuna görə, hesabladığımız ehtimal daha əvvəlki ehtimalla (yəni, P(0 < Z < 0.12)) eynidir.

Ehtimalın verilməsi halında X təsadüfi dəyişəninin tapılması: əgər ehtimal verilmişdirsə və X dəyişəninin tapılması bizdən soruşulursa, bunu hesablamaq üçün aşağıdakı mərhələləri izləmək lazımdır:

  • Ehtimal verildiyi üçün biz ehtimala uyğun gələn Z dəyərini tapırıq
  • Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək X dəyişənini hesablayırıq:

12

Misal: Fərz edək ki, X təsadüfi dəyişəni növbədə gözlədiyimiz vaxtı göstərir. Deyək ki, X dəyişəni normal paylanmaya sahibdir. Ortalaması 18-ə, standart kənarlaşması isə 5-ə bərabərdir. Vaxtın 20%-nin X-dan az olduğunu fərz edərək X-ı hesablayın:

13

Gəlin Z cədvəlindən 20%-ə uygun gələn Z dəyərini tapaq. Aşağıdakı cədvəldən də gördüyümüz kimi, 20%-ə ən yaxın ehtimal 20.05%-dir və bu ehtimal -0.8 və 0.04-ün kəsişməsində dayanmışdır. Yəni, Z dəyərimiz -0.84-dür.

14

Z dəyərini tapdığımıza görə gəlin X-ı esablayaq:

15

Deməli, ortalaması 18 və standart kənarlaşması 5-ə bərabər olan normal paylanmada verilənlərin 20%- 13.8-dən aşağıdır.

16

Bir cavab yazın

Sizin e-poçt ünvanınız dərc edilməyəcəkdir. Gərəkli sahələr * ilə işarələnmişdir