ST20: Etibarlılıq intervalları - INNAB

ST20: Etibarlılıq intervalları

Normal paylanmış toplunun riyazi gözləməsini təxmin eləmək üçün seçmənin ortalamasından istifadə edirik. Toplu üçün tapılmış təqribi qiymətlər bir ədəddən ibarət olduğu üçün onlara nöqtəvi qiymətləndirmələr deyilir. Nöqtəvi qiymətləndirmələr toplunun parametrlərinin əsil qiymətlərindən xeyli fərqlənə bilərlər. Məhz bu səbəbə görə, parametrlər üçün tapılmış təqribi qiymətlərin dəqiqlik və etibarlılıq məsələləri intervallı qiymətləndirmə üsulu ilə, yəni etibarlılıq intervallarının qurulması vasitəsi ilə həyata keçirilir. Bütün bunları nəzərə alaraq demək olar ki, interval parametrin həqiqi qiymətinin daxil olduğu diapazonu göstərir.

1

Etibarlılıq intervalları toplunun standart yayınması məlum olub olmamasından asılı olaraq hesablanır. Gəlin bunlara ayrı-ayrılıqda baxaq:

  1.  

2

Fərziyyələr:

  • Toplunun Standart Yayınması məlumdur.
  • Toplu Normal paylanmaya sahibdir.
  • Əgər toplunun paylanması normal deyilsə, o təqirdə böyük həcmdə seçmədən istifadə edilməlidir.

Bu şərtlərin hamısı qarşılanırsa, etibarlılıq intervalı aşağıdakı düsturla hesablanır:

3

Gəlin 95% etibarlılıqda Z dəyərini hesablayaq:

4

Gördüyümüz kimi, biz ilk olaraq quyruqlarda qalan ehtimalı hesabladıq (iki quyruğa 5%, hər birinə isə 2.5% düşür). Daha sonra Z cədvəlindən 0.025 ehtimala uyğun gələn qiyməti tapdıq.

Qeyd edək ki, ən çox istifadə olunan ehtimallar 90%, 95% və 99%-dir. Bu ehtimallar üzrə Z dəyərlərini əzbər bilsək artıq hər dəfə Z cədvəlinə baxmağa ehtiyac yaranmaz. Bunun üçün aşağıdakı cədvəldə ehtimallar üzrə Z dəyərlərini qeyd edirəm:

5

Misal: Fərz edək ki, böyük bir topludan riyazi gözləməsi (ortalaması) 2.20 bərabər olan 11 verilən seçilmişdir. Bu toplunun standart yayınmasının 0.35-ə bərabər olduğunu da bilirik. Toplunun riyazi gözləməsi (ortalaması) üçün 95% etibarlı interval hesablayın:

6

95% əminliklə biz deyə bilirik ki, toplunun ortalaması 1.9932 ilə 2.4068 arasındadır.

        2. 

7

Görəsən biz hər dəfə toplunun standart yayınmasını bilirikmi? Əslində xeyr. Real həyatda topluda verilənlər hədsiz çox olduğu üçün biz vaxta qənaət etmək və oparativ işləmək məqsədilə topludan bir qisim veriləni seçib onları təhlil edirik və alınan nətcəni topluya şamil edirik. Əgər toplunun standart kənarlaşmasını bilirksə, deməli bizə toplunun ortalaması da məlumdur. Çünki, standart kənarlaşmanı ortalamanın köməyi ilə hesablayırıq. Deməli, əgər toplunun standart kənarlaşması bilinirsə onda ortalaması da bilinir və seçmə götürərək ortalamanı təxmin eləməyə heç bir ehtiyac yoxdur.

Əgər toplunun standart yayınması (σ) naməlumdursa onda biz seçmənin standart yayınmasından (S) istifadə edirik. Amma S özü də seçmədən seçməyə fəqli qiymət alır. Buna görə də normal paylanma əvəzinə t” paylanmasından istifadə edəcəyik. Çünki, t paylanmasında t dəyəri seçmə sayından asılı olaq dəyişir.

Fərziyyələr:

  • Toplunun Standart Yayınması naməlumdur.
  • Toplu Normal paylanmaya sahibdir.
  • Əgər toplunun paylanması normal deyilsə böyük həcmdə seçmədən istifadə edilməlidir.

Bu şərtlərin hamısı qarşılanırsa, etibarlılıq intervalı aşağıdakı düsturla hesablanır:

8

Burada, tα/2  t paylanmasında hər bir quyruqda qalan α/2 ehtimalına uyğun gələn mühüm dəyərdir. t cədvəlində sol sütunda (degrees of freedom ,df) n-1 götürülür. Bu da o dəməkdir ki, t dəyəri seçmədən seçməyə fərli olacaqdır, yəni seçmə həcmindən asılı olaraq t dəyəri dəyişəcəkdir. t paylanmasına Student’s t Distribution da deyilir.

Qeyd edək ki, seçmə sayı (n) artdıqca t paylanması Z paylanmasına yaxınlaşır. Aşağıdakı şəkildə daha aydın görünür:

9

Fərz edək ki, seçmə sayı 3-dür, 90% əminliklə t dəyərini hesablayın:

10

Misal: fərz edək ki, topludan götürülmüş seçmənin sayı 25, ortalaması 50 və standart yayınması 8-dir. 95% əminliklə toplunun ortalamasını hesablayın:

11

Nəticəyə görə deyə bilərik ki, toplunun riyazi gözləməsi (ortalama) 95% əminliklə 46.689 ilə 53.302 arasındadır.

12

Bir cavab yazın